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奥数题知识点整理

时间:2019-09-06    点击: 次    来源:栖息岛    作者:栖息岛 - 小 + 大


  1.和差倍问题
  和差问题和倍问题差倍问题
  已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数
  公式适用范围已知两个数的和,差,倍数关系
  公式①(和-差)÷2=较小数
  较小数+差=较大数小学奥数很简单,就这30个知识点
  和-较小数=较大数
  ②(和+差)÷2=较大数
  较大数-差=较小数
  和-较大数=较小数
  和÷(倍数+1)=小数
  小数×倍数=大数
  和-小数=大数
  差÷(倍数-1)=小数
  小数×倍数=大数
  小数+差=大数
  关键问题求出同一条件下的
  和与差和与倍数差与倍数


  2.年龄问题的三个基本特征:
  ①两个人的年龄差是不变的;
  ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
  ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;


  3.归一问题的基本特点:问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
  关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量;


  4.植树问题
  基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树封闭曲线上植树
  基本公式棵数=段数+1
  棵距×段数=总长棵数=段数-1
  棵距×段数=总长棵数=段数
  棵距×段数=总长
  关键问题确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系


  5.鸡兔同笼问题
  基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;
  基本思路:
  ①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
  ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
  ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
  ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
  基本公式:
  ①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
  ②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
  关键问题:找出总量的差与单位量的差。


  6.盈亏问题
  基本概念:一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
  基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
  基本题型:
  ①一次有余数,另一次不足;
  基本公式:总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
  ②当两次都有余数;
  基本公式:总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
  ③当两次都不足;
  基本公式:总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
  基本特点:对象总量和总的组数是不变的。
  关键问题:确定对象总量和总的组数。


  7.牛吃草问题
  基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
  基本特点:原草量和新草生长速度是不变的;
  关键问题:确定两个不变的量。
  基本公式:
  生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
  总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;


  8.周期循环与数表规律
  周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。
  周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
  关键问题:确定循环周期。
  闰年:一年有366天;
  ①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
  平年:一年有365天。
  ①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;


  9.平均数
  基本公式:①平均数=总数量÷总份数
  总数量=平均数×总份数
  总份数=总数量÷平均数
  ②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
  基本算法:
  ①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算.
  ②基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式②。


  10.抽屉原理
  抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
  例:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:
  ①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
  观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
  抽屉原则二:如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:
  ①k=[n/m]+1个物体:当n不能被m整除时。
  ②k=n/m个物体:当n能被m整除时。
  理解知识点:[X]表示不超过X的最大整数。
  例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
  关键问题:构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。


  11.定义新运算
  基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
  基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
  关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。
  注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
  ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。


  12.数列求和
  等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
  基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示;
  项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示;
  公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;
  通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;
  数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.
  基本思路:等差数列中涉及五个量:a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
  基本公式:通项公式:an=a1+(n-1)d;
  通项=首项+(项数一1)公差;
  数列和公式:sn,=(a1+an)n2;
  数列和=(首项+末项)项数2;
  项数公式:n=(an+a1)d+1;
  项数=(末项-首项)公差+1;
  公差公式:d=(an-a1))(n-1);
  公差=(末项-首项)(项数-1);
  关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;


  13.二进制及其应用
  十进制:用0~9十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。
  =An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+……+A3102+A2101+A1100
  注意:N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)
  二进制:用0~1两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
  (2)=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7
  +……+A322+A221+A120
  注意:An不是0就是1。
  十进制化成二进制:
  ①根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
  ②先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。


  14.加法乘法原理和几何计数
  加法原理:如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:m1+m2.......+mn种不同的方法。
  关键问题:确定工作的分类方法。
  基本特征:每一种方法都可完成任务。
  乘法原理:如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:m1×m2.......×mn种不同的方法。
  关键问题:确定工作的完成步骤。
  基本特征:每一步只能完成任务的一部分。
  直线:一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。
  直线特点:没有端点,没有长度。
  线段:直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。
  线段特点:有两个端点,有长度。
  射线:把直线的一端无限延长。
  射线特点:只有一个端点;没有长度。
  ①数线段规律:总数=1+2+3+…+(点数一1);
  ②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
  ③数长方形规律:个数=长的线段数×宽的线段数:
  ④数长方形规律:个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数


  15.质数与合数
  质数:一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
  合数:一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
  质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
  分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
  分解质因数的标准表示形式:N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1
  求约数个数的公式:P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
  互质数:如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。


  16.约数与倍数
  约数和倍数:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
  公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
  最大公约数的性质:
  1、几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。
  2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
  3、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。
  4、几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
  例如:12的约数有1、2、3、4、6、12;
  18的约数有:1、2、3、6、9、18;
  那么12和18的公约数有:1、2、3、6;
  那么12和18最大的公约数是:6,记作(12,18)=6;
  求最大公约数基本方法:
  1、分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
  2、短除法:先找公有的约数,然后相乘。
  3、辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
  公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
  12的倍数有:12、24、36、48……;
  18的倍数有:18、36、54、72……;
  那么12和18的公倍数有:36、72、108……;
  那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;
  最小公倍数的性质:
  1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
  2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
  求最小公倍数基本方法:1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法


  17.数的整除
  一、基本概念和符号:
  1、整除:如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。
  2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”;
  二、整除判断方法:
  1.能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。
  2.能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
  3.能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
  4.能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。
  5.能被7整除:
  ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
  ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
  6.能被11整除:
  ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
  ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
  ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
  7.能被13整除:
  ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
  ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
  三、整除的性质:
  1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
  2.如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。
  3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
  4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。


  18.余数及其应用
  基本概念:对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0
  余数的性质:
  ①余数小于除数。
  ②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。
  ③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
  ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。


  19.余数、同余与周期
  一、同余的定义:
  ①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。
  ②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。
  二、同余的性质:
  ①自身性:a≡a(modm);
  ②对称性:若a≡b(modm),则b≡a(modm);
  ③传递性:若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm);
  ④和差性:若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm);
  ⑤相乘性:若a≡b(modm),c≡d(modm),则a×c≡b×d(modm);
  ⑥乘方性:若a≡b(modm),则an≡bn(modm);
  ⑦同倍性:若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(modm×c);
  三、关于乘方的预备知识:
  ①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b
  ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
  四、被3、9、11除后的余数特征:
  ①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod9)或(mod3);
  ②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);
  五、费尔马小定理:如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。


  20.分数与百分数的应用
  基本概念与性质:
  分数:把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。
  分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
  分数单位:把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。
  百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数。
  常用方法:
  ①逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。
  ②对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
  ③转化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
  ④假设思维方法:为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。
  ⑤量不变思维方法:在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况:A、分量发生变化,总量不变。B、总量发生变化,但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。
  ⑥替换思维方法:用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
  ⑦同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
  ⑧浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况。


  21.分数大小的比较
  基本方法:
  ①通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。
  ②通分分母法:使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。
  ③基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。
  ④分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。
  ⑤倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化规律)
  ⑥转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。
  ⑦倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。
  ⑧大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。
  ⑨倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。
  ⑩基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较。


  22.分数拆分
  一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式:
  ①=+;
  ②=+(d为自然数);


  23.完全平方数
  完全平方数特征:
  1.末位数字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。
  2.除以3余0或余1;反之不成立。
  3.除以4余0或余1;反之不成立。
  4.约数个数为奇数;反之成立。
  5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
  6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
  7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
  平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
  完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2
  完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2


  24.比和比例
  比:两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项。
  比值:比的前项除以后项的商,叫做比值。
  比的性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外),比值不变。
  比例:表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
  比例的性质:两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc。
  正比例:若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时),则A与B成正比。
  反比例:若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时),则A与B成反比。
  比例尺:图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
  按比例分配:把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配。


  25.综合行程
  基本概念:行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
  基本公式:路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间
  关键问题:确定运动过程中的位置和方向。
  相遇问题:速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)
  追及问题:追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)
  流水问题:顺水行程=(船速+水速)×顺水时间
  逆水行程=(船速-水速)×逆水时间
  顺水速度=船速+水速
  逆水速度=船速-水速
  静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2
  水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
  流水问题:关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。
  过桥问题:关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。
  主要方法:画线段图法
  基本题型:已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。


  26.工程问题
  基本公式:
  ①工作总量=工作效率×工作时间
  ②工作效率=工作总量÷工作时间
  ③工作时间=工作总量÷工作效率
  基本思路:
  ①假设工作总量为“1”(和总工作量无关);
  ②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间.
  关键问题:确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
  经验简评:合久必分,分久必合。


  27.逻辑推理
  基本方法简介:
  ①条件分析—假设法:假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。
  ②条件分析—列表法:当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。
  ③条件分析——图表法:当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。
  ④逻辑计算:在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
  ⑤简单归纳与推理:根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。


  28.几何面积
  基本思路:
  在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
  常用方法:
  1.连辅助线方法
  2.利用等底等高的两个三角形面积相等。
  3.大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上)。
  4.利用特殊规律
  ①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积)
  ②梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。
  ③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。


  29.立体图形
  长方体
  8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等;S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh
  正方体
  8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等;S=6a2V=a3
  圆柱体
  上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形;S=S侧+2S底S侧=ChV=Sh
  圆锥体
  下底是圆;只有一个顶点;l:母线,顶点到底圆周上任意一点的距离;S=S侧+S底
  S侧=rlV=Sh
  球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。S=4r2V=r3


  30.时钟问题—快慢表问题
  基本思路:
  1、按照行程问题中的思维方法解题;
  2、不同的表当成速度不同的运动物体;
  3、路程的单位是分格(表一周为60分格);
  4、时间是标准表所经过的时间;
  合理利用行程问题中的比例关系;
  学习奥数可以让学生开拓思维,锻炼孩子的逻辑能力。要想学生有效提高奥数成绩,首先要让孩子对奥数产生学习兴趣。平时可以让孩子多做一些有趣的奥数题,从简单题型做起,慢慢培养孩子的思维能力。

 

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